Consigne: Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\)
On suppose que $$\forall(x,y)\in{\Bbb R}^2,f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)\quad\text{ et }\quad\frac{f(x)}{x}\underset{x\to0}\longrightarrow1$$
Déterminer \(f\)

On peut inverser l'inégalité avec des \(-\)
$$f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)\quad\text{ et }\quad f(x)\leqslant f(x+y)+f(-y)$$

Dérivabilité de \(f\) (par définition de la dérivabilité)
Pour \(y=h\gt 0\), $$\frac{f(-h)}{-h}\leqslant\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leqslant\frac{f(h)}{h}$$ donc \(f\) est dérivable en tout point

En déduire la valeur de la dérivée \(\to\) il existe une écriture simple de \(f\)
De plus \(f^\prime=1\), donc \(f(x)=x+a\) pour un certain \(a\)

Une seule valeur du paramètre remplit les conditions

Une telle fonction convient si \(a=0\) (équivalence en \(0\))